അദ്ധ്യായം 15
കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകൾ.
ആമുഖം ഡാറ്റയെ സംഖ്യാരീതിയില്‍ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവുകള്‍ ചുരുക്കത്തില്‍ പഠിക്കാം. വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്ക് ക്ലാസ്‌ പരീക്ഷകളില്‍ കിട്ടിയ ശരാശരി മാര്‍ക്കുകള്‍, ഒരു പ്രദേശത്തുള്ള ആളുകളുടെ ശരാശരി വരുമാനം, ഒരു ഫാക്ടറിയിലെ ശരാശരി ഉല്പാദനം തുടങ്ങിയവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട വിപുലമായ ഡാറ്റകള്‍ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നതിന്റെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങള്‍ നിത്യ ജീവിതത്തില്‍ നിങ്ങള്‍ കണ്ടുകാണും. ഈ എല്ലാ സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും മൊത്തം ഡാറ്റയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു മൂല്യത്തെ കണ്ടുപിടിക്കാനാണ്‌ നമ്മള്‍ ശ്രമിക്കുന്നത്‌. ആ മൂല്യത്തെയാണ്‌ കേന്ദ്രീയ മൂല്യം അല്ലെങ്കില്‍ ശരാശരി മൂല്യം എന്നു പറയുന്നത്‌. ഇതിനെ, മൊത്തം ഗ്രൂപ്പിനെ ഏറെക്കുറെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കാവുന്ന വിതരണത്തിലെ ഒരൊറ്റ മൂല്യം എന്ന നിലയില്‍ നിര്‍വചിച്ചിരിക്കുന്നു. കിട്ടുന്ന മൂല്യം ഒരു കേന്ദ്രീയ മൂല്യത്തിനു ചുറ്റുമായി കൂട്ടമായി (cluster) കിടക്കുന്നതിനാല്‍ ശരാശരിയെ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ അളവ്‌ എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.
നിര്‍വചനം (Definition)
നല്ലൊരു ശരാശരി യുടെ അവശ്യഘടകുങ്ങള്‍ (Requisites of a Good Average)
- അതു ഗ്രഹിക്കാന്‍ എളുപ്പമുള്ളതാകണം.
- അത്‌ കണക്കാക്കുന്നതിന്‌ (compute) എളുപ്പമുള്ളതാകണം
- അമിതമായ ഇനങ്ങളാല്‍ (extreme items) അത്‌ അനുചിതമായി ബാധിക്കരുത്‌
- അതു എല്ലാ ഇനങ്ങളെയും അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയുള്ളതായിരിക്കണം
- അത്‌ അയവില്ലാത്തവിധം നിര്‍വ്വചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കണം
- ഇതിന്‌ പിന്നീടുള്ള ബീജഗണിത വിശകലനത്തിന്‌ കഴിവുള്ളതായിരിക്കണം
- അതിന്‌ സാമ്പിളിങ്‌ സ്ഥിരത ഉണ്ടായിരിക്കണം
കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ വ്യത്യസ്ത അളവുകള്‍/ശഭരാശരികള്‍ (Different Measures of Central Tendency/Averages). ശരാശരികളുടെ അല്ലെങ്കില്‍ കേന്ദ്രീയ പ്രവണതകളുടെ നിരവധി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കല്‍ അളവുകള്‍ ഉണ്ട്‌. സാധാരണയായി പരക്കെ ഉപയോഗിക്കുന്ന മൂന്ന്‌ ശരാശരികള്‍;
- 1) മാധ്യം (Arithmetic mean)
- 2) മാധ്യകം (Median)
- 3) ബഹുലകം (Mode)
മാധ്യം (Arithmetic mean). കേന്ദ്രീയ പ്രവണതയുടെ ഏറ്റവും പ്രചാരമുള്ളതും, വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതുമായ ഒരളവാണ്‌ മാധ്യം (Arithmetic mean). എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെ മൂല്യങ്ങളെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണംകൊണ്ട്‌ ഹരിച്ചു കിട്ടുന്നതിനെ മാധ്യം എന്നു നിര്‍വചിക്കാം. ഇതിനെ X എന്ന്‌ പൊതുവെ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.
X1, X2, X3, …. Xn എന്നിങ്ങനെ N നിരീക്ഷണങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ മാധ്യം (X എക്സ്ബാര്‍ എന്ന്‌ വായിക്കുന്നു) ഇപ്രകാരമായിരിക്കും.\( \mathbf{\overline{X} = {{{\frac{{X_1} + {X_2} + {X_3}…..{X_n}}{N}} }}} \)
or
\( \mathbf{\overline{X} = {{{\frac{ΣX}{N}} }}} \)
ΣX = എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെ തുക
N = ആകെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം
മധ്യം കണക്കാക്കുന്നതെങ്ങനെ ? (How Arithmetic Mean is Calculated?). മാധ്യം കണക്കാക്കുന്നത്‌ രണ്ട്‌ വിഭാഗങ്ങളിലായിട്ടാണ്‌.
- ഗ്രൂപ്പ്‌ ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയ്ക്കുവേണ്ടിയുള്ള മാധ്യം.
- ഗ്രൂപ്പ്‌ ചെയ്ത ഡാറ്റയ്ക്കുവേണ്ടിയുള്ള മാധ്യം.
ഗ്രുപ്പ്‌ ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള മാധ്യം (Arithmetic Mean for Ungrouped Data) ഗ്രുപ്പ്‌ ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയ്ക്കുള്ള മാധ്യം താഴെ പറയുന്ന രീതിയില്‍ കണക്കാക്കുന്നു;
- പ്രതൃക്ഷ രീതി (Direct Method)
- സാങ്കല്പിക മാധ്യരീതി (Assumed Mean Method)
- പദവ്യതിചലന രീതി (Step Deviation Method)
പ്രത്യക്ഷരീതി (Direct method) പ്രത്യക്ഷരീതിയില്‍ സമാന്തരമാധ്യം ശ്രേണികളിലെ എല്ലാ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ച്‌ കിട്ടുന്നതാണ്‌.
താഴെ കൊടുത്ത ഉദാഹരണം ശ്രദ്ദിക്കുക| Table 15.1 | |
|---|---|
| ക്രമനമ്പര്‍ | മാസവരുമാനം |
| 1 | 270 |
| 2 | 180 |
| 3 | 95 |
| 4 | 98 |
| 5 | 100 |
| 6 | 75 |
| 7 | 82 |
| 8 | 90 |
| 9 | 110 |
| 10 | 600 |
| Table 15.2 | |
|---|---|
| മാസവരുമാനം | |
| 270 | |
| 180 | |
| 95 | |
| 98 | |
| 100 | |
| 75 | |
| 82 | |
| 90 | |
| 110 | |
| 600 | |
| ΣX = 1700 | |
\( \mathbf{\overline{X} = {{{\frac{ΣX}{N}} }}} \)
\( \mathbf{= \,{{{\frac{1700}{10}} }}} \) = 17സാങ്കല്പിക മാധ്യരീതി (Assumed Mean Method). നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ കൂടുതലോ സംഖ്യകള്‍ വളരെ വലുതോ ആണെങ്കില്‍ സമാന്തര മാധ്യം പ്രത്യക്ഷരീതിയില്‍ കണക്കാക്കുക പ്രയാസമാണ്‌. കാരണം നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ വിപുലമായ എണ്ണങ്ങള്‍ പരസ്പരം കൂട്ടുകയും അതുപോലെ വിപുലമായ സംഖ്യകള്‍ എണ്ണിയെടുക്കുകയും വേണം. അത്തരം സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ കണക്കുകൂട്ടുന്നത്‌ സാങ്കല്പികമാധ്യം രീതിയിലാണ്‌.
സാങ്കല്പിക മാധ്യം ദത്തങ്ങളില്‍ നിന്നുള്ള സംഖ്യയോ ദത്തങ്ങളില്‍ ഇല്ലാത്ത സംഖ്യയോ ആകാം. എന്നിരുന്നാലും കണക്കുകൂട്ടല്‍ എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്‌ ദത്തങ്ങളുടെ കേന്ദ്രീകൃതമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന (centrally located) മൂല്യത്തെയാണ്‌ സാധാരണയായി സാങ്കല്പികമാധ്യമായി തെരഞ്ഞെടുക്കുക.ഘട്ടങ്ങള്‍ (Steps)
- 1) സാങ്കല്പികമാധ്യം A എന്നു സങ്കല്പിക്കുക.
- 2) സ്വതന്ത്ര നിരീക്ഷണങ്ങളില്‍നിന്ന്‌ (X) സാങ്കല്പിക മാധ്യത്തിന്റെ വൃതിചലനം കണക്കാക്കുക. അതായത്, d = X – A
- 3) ആകെ വ്യതിചലനങ്ങളുടെ തുക Σd കണ്ടുപിടികുക.
- 4) അതിനുശേഷം \( \mathbf{{\frac{ΣX}{N}}} \) കണ്ടുപിടിക്കുക.
- 5) സൂത്രവാക്യം \( \mathbf{\overline{X} =~A~+~ {{{\frac{Σd}{N}} }}} \) ഉപയോഗിക്കുക
സാങ്കല്പികമാധ്യം (A) = 57
| Table 15.3 | |
|---|---|
| X | d = X – A = X – 57 |
| 42 | – 15 |
| 52 | – 5 |
| 51 | – 6 |
| 47 | – 10 |
| 61 | 4 |
| 57 | 0 |
| 63 | 6 |
| 71 | 14 |
| 54 | – 3 |
| 62 | 5 |
| Σd = (-39) + (29) = – 10 | |
= \( \mathbf{\overline{X} =~57~+~ {{{\frac{-10}{10}} }}} \)
= 57 – 1 = 56
പദ വ്യതിചലന രീതി (Step Deviation Method)
വ്യതിചലനങ്ങൾ വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ ദത്തങ്ങൾക്കായി ഒരു പൊതുവായ ഘടകം “c” (common factor) സ്വീകരിക്കുന്നു.
ഘട്ടങ്ങൾ (Steps)
- 1) ഒരു സാങ്കല്പിക മാധ്യം എടുക്കുക, A
- 2) A യിൽ നിന്ന് ഓരോ X ന്റേയും വ്യതിചലനം (d = X – A)
- 3) d യെ പൊതു ഘടകം c കൊണ്ട് ഹരിക്കുക,
അതായത്, d’ = \( \mathbf{{\frac{d}{c}}} \) = \( \mathbf{{\frac{(x -A}{c}}} \) - 4) ആകെ വ്യതിചലനങ്ങളുടെ തുക Σd കണ്ടുപിടികുക.
- 5) സൂത്രവാക്യം \( \mathbf{\overline{X} =~A~+~ {{{\frac{Σd’}{N}}~×~c }}} \) ഉപയോഗിക്കുക
40, 35, 60, 70, 30, 50, 25, 65, 75, 20, 55
സാങ്കല്പിക മാധ്യം (A) = 50
| Table 15.3 | ||
|---|---|---|
| X | d = X – A = X – 50 | d’ = \( \mathbf{{\frac{d}{c}}} \) |
| 40 | -10 | -2 |
| 3 | -15 | -3 |
| 60 | 10 | 2 |
| 70 | 20 | 4 |
| 30 | -20 | -4 |
| 50 = A | 0 | 0 |
| 25 | -25 | -5 |
| 65 | 15 | 3 |
| 75 | 25 | 5 |
| 20 | -30 | -6 |
| Σd’ = -6 | ||
\( \mathbf{ =~50~+~ {{{\frac{-6}{10}}~×~5 }}} \)
= 50 – 3 = 47
Updated soon…
