Chapter 13 – My Economics

അദ്ധ്യായം 13

ദത്തങ്ങളുടെ / ഡാറ്റയുടെ വ്യവസ്ഥപ്പെടുത്തൽ

പട്ടിക 13.1 ഇക്കണോമിക്സ് I ലെ 100 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർക്കുകൾ
46	44	11	10	50	55	48	36	88	41
61	58	57	56	57	48	54	57	100	40
43	69	63	60	59	58	59	64	65	51
65	29	37	51	54	55	71	81	57	91
70	50	52	49	48	49	70	71	54	54
48	46	49	54	55	54	60	59	56	66
49	45	63	63	62	61	59	59	49	65
65	41	26	25	24	27	18	24	39	23
45	52	45	44	43	45	46	12	24	34
47	45	58	57	59	58	59	60	74	24

13.2 ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായിട്ടുള്ള തരംതിരിവ്
States	സ്കൂട്ടർ വില്പന
Andhrapradesh	1200
Tamilnadu	950
Kerala	830

13.3 കാലക്രമമനുസരിച്ചുള്ള തരംതിരിവ്
Year	ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ
2009	567
2010	638
2011	736
2012	758

13.4 ഗുണാത്മകമായ തരംതിരിവ്
States	സാക്ഷരത
Kerala	99.5%
Karnataka	95.6%
Bihar	68%

13.5 പരിമാണാത്മകമായ തരംതിരിവ്
Companies	Sales
Hundai	800
Tata	638
Maruti	736

13.6 സ്വതന്ത്ര ശ്രേണി
തൊഴിലാളി ക്രമനമ്പർ	വേതനം (ക.)
1	500
2	600
3	550

13.7 അസന്തത ശ്രേണി
ഓരോ ദമ്പതിക്കുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണം	ദമ്പതികളുടെ എണ്ണം
0	21
1	19
2	10
Total	50

13.8 സന്തത ശ്രേണി
ഉയരം (സെ.മീ.)	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം
0 – 10	5
10 – 20	10
20 – 30	17
30 – 40	13
40 – 50	5
Total	50

13.9 അണി ആരോഹണക്രമത്തിൽ
Rs	Rs
20	36
21	39
23	41
27	42
30	43
31	46
32	47
33	49
34	50
35	52

13.10 അണി അവരോഹണക്രമത്തിൽ
Rs	Rs
52	35
50	34
49	33
47	32
46	31
43	30
42	27
41	23
39	21
36	20

13.11 ആവൃത്തി അണി
ദിവസ വേതനം	ടാലി മാർക്ക്	തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണം
50	//// /	6
54	//// /	6
55	///	3
56	////	4
57	/	1
Total	20

13.12
തൂക്കം (കിലോഗ്രാമിൽ)	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം
40 – 45	40
45 – 50	110
50 – 55	35
55 – 60	240
60 – 65	355
65 – 70	20
Total	800

13.13 ടാലി അടയാളത്തോടെയുള്ള ആവൃത്തി വിതരണം
വർഗം	ടാലി അടയാളം	അടയാളം (ആവൃത്തി)
0 – 10	//// /	6
10 – 20	///	3
20 – 30	//// //// //// //// ////	25
30 – 40	//// //// //// /	16
40 – 50	//// //// //// ////	19
50 – 60	//// //// ///	13
60 – 70	////	5
70 – 80	//// ///	8
80 – 90	////	4
90 – 100	/	1
Total	100

കഴിഞ്ഞ അധ്യായത്തിൽ നമ്മൾ ദത്തങ്ങളുടെ ശേഖരണത്തെപ്പറ്റി പഠിച്ചു. ശേഖരിച്ച മൗലികമായ വിവരങ്ങൾ അസംഘടിതമാണ്. അതുകൊണ്ട് അതിനെ അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങൾ (Raw Data) എന്നു പറയും. ഇത്തരം അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളെ ഒരേ തരത്തിലുള്ളവയെന്നും അല്ലാത്തവയെന്നും തരംതിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിർദിഷ്ട ലക്ഷ്യത്തിന് അനുയോജ്യമാക്കുന്നതിനും സാംഖ്യിക വിശകലനത്തിനും ഇത് അത്യന്താപേക്ഷിതമാണ്.
പോസ്റ്റാപ്പീസിൽ എഴുത്തുകൾ വേർതിരിക്കുന്ന ഏർപ്പാടിന് സമമാണ് ദത്തങ്ങളുടെയും തരംതിരിക്കൽ. പോസ്റ്റാപ്പീസിൽ കിട്ടുന്ന എഴുത്തുകൾ ഭൂമി ശാസ്ത്രപരമായ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യത്യസ്ത ഗ്രൂപ്പുകളായി വേർതിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ വേർ തിരിച്ചു വെയ്ക്കുന്ന ഒരു വിഭാഗം എഴുത്തുകൾ പ്രത്യേക ബാഗുകളിലായി, ചില പ്രത്യേക സവിശേ ഷതകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥലത്തേക്കുള്ള കത്തുകൾ) തരംതിരിക്കുന്നു. അതായത് കത്തുകൾ പൊതുസ്വഭാവമുള്ള ഗ്രൂപ്പുകളായി തരംതിരിക്കുന്നു.
ഇതുപോലെ നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ പുസ്തകങ്ങൾ ചില നിർദിഷ്ട ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാകും. നിങ്ങൾക്ക് പുസ്തകങ്ങൾ വിഷയത്തെ (ഉദാ: ഇംഗ്ലീഷ്, സാമ്പത്തികശാസ്ത്രം, എക്കൗണ്ടൻസി എന്നിങ്ങനെ) അടിസ്ഥാനമാക്കി വർഗീകരിക്കാം. അപ്പോൾ ഒരു ഗ്രൂപ്പും ഓരോ സംഘം അല്ലെങ്കിൽ വർഗം ആയി മാറുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പുസ്തകം ഉദാഹരണത്തിന് ഇക്കണോമിക്സ് വേണമെങ്കിൽ ഇക്കണോമിക്സ് ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് അല്ലെങ്കിൽ ക്ലാസിൽ നിന്ന് ആ പുസ്തകം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം. ഇങ്ങനെ തരം തിരിക്കാത്തപക്ഷം ഇക്കണോമിക്സ് കിട്ടണമെങ്കിൽ മൊത്തം പുസ്തക ശേഖരത്തിൽ അന്വേഷിക്കേണ്ടിവരും.
മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നടക്കുന്ന പ്രവൃത്തിയെയാണ് തരംതിരിക്കൽ എന്നു പറയുന്നത്. അതുപോലെ അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളെ സാംഖ്യിക വ്യാഖ്യാനങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്പെടും വിധത്തിൽ രൂപീകരിക്കുകയോ തരംതിരിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരുപോലെയുള്ളവയെ അല്ലെങ്കിൽ സാമ്യമുള്ളവയെ ഒരു ഗ്രൂപ്പായി അഥവാ ഗണമായി ക്രമീകരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയെയാണ് സാങ്കേതികമായി തരംതിരിക്കൽ എന്നു പറയുന്നത്.

അസംസ്കൃത ദത്തം (Raw Data)
മൗലിക ദത്തങ്ങളെന്ന നിലയിൽ ആദ്യമായി ശേഖരിക്കുന്ന ദത്തങ്ങൾ അങ്ങേയറ്റം അസംഘടിത രൂപത്തിലുള്ളതായിരിക്കും. അവ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ദുഷ്കരമായും വിധത്തിൽ ബൃഹത്തായിരിക്കും. അത്തരം മൗലിക ദത്തങ്ങളിൽ നിന്നും അർത്ഥപൂർണ്ണമായ നിഗമനങ്ങൾ രൂപീകരിക്കുക ശ്രമകരമായ സംഗതിയാണ്. അതുകൊണ്ട് ക്രമാനുഗതമായ സാംഖ്യിക വിശകലനം നടത്തുന്നതിനുമുമ്പ് മൗലിക ദത്തങ്ങളെ ശരിയായ രീതിയിൽ തരംതിരിക്കുകയും ക്രമീകരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതാണ്. ദത്തങ്ങൾ ശേഖരിച്ചു കഴിഞ്ഞാൽ തുടർന്നു വേണ്ട പ്രധാന നടപടി അവയെ തരം തിരിക്കുകയും ഗ്രൂപ്പായി അഥവാ ഗണമായി ക്രമീകരിക്കുകയുമാണ്.
ഇക്കണോമിക്സ് 1 ൽ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രകടനം അറിയാൻ നിങ്ങൾ താല്പര്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് സങ്കല്പിക്കുക. അതിനുവേണ്ടി നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്കൂളിലെ 100 ഇക്കണോമിക്സ് I വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർക്കുകൾ ശേഖരിക്കുന്നു. ദത്തങ്ങൾ പട്ടികയായി ക്രമീകരിച്ചാൽ താഴെ കൊടുത്തപോലെ യായിരിക്കും:

പട്ടിക 13.1 ഇക്കണോമിക്സ് I ലെ 100 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർക്കുകൾ

46 44 11 10 50 55 48 36 88 41

61 58 57 56 57 48 54 57 100 40

43 69 63 60 59 58 59 64 65 51

65 29 37 51 54 55 71 81 57 91

70 50 52 49 48 49 70 71 54 54

48 46 49 54 55 54 60 59 56 66

49 45 63 63 62 61 59 59 49 65

65 41 26 25 24 27 18 24 39 23

45 52 45 44 43 45 46 12 24 34

47 45 58 57 59 58 59 60 74 24

ടേബിൾ 1 ൽ കൊടുത്ത ദത്തങ്ങൾ അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ തരംതിരിക്കാത്ത ദത്തങ്ങളാണ്. സംഖ്യകൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നതിന് ഒരു ക്രമവും സ്വീകരിച്ചിട്ടില്ല. മുകളിൽ കൊടുത്ത ടേബിൾ ഉപയോഗിച്ച് 40നു മുകളിൽ അല്ലെങ്കിൽ 40നും 60 നും ഇടയിൽ മാർക്കുകിട്ടിയ കുട്ടികളുടെ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കുക അത്ര എളുപ്പമാവില്ല. ദത്തങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യണമെങ്കിൽ ദത്തങ്ങളെ തരംതിരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. പൊതുസ്വഭാവമുള്ള ദത്തങ്ങളെ ഒരു ഗ്രൂപ്പായി അല്ലെങ്കിൽ ഗണമായി ക്രമീകരിക്കുകയും അങ്ങനെ മൊത്തം ദത്തങ്ങളെ വിവിധ ഗണങ്ങളായി തരംതിരിക്കുകയും വേണം.

ദത്തങ്ങളുടെ തരംതിരിവ് (Classification of Data )
ഒരുപോലെയുള്ള അല്ലെങ്കിൽ സാമ്യമുള്ള ദത്തങ്ങളെ ഒരു ഗ്രൂപ്പായി ഗണമായി തരംതിരിക്കലാണ് ദത്തങ്ങളുടെ തരംതിരിവ്. ഒരു ഗണത്തിലെ ദത്തങ്ങൾ ചില സവിശേഷതകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മറ്റു ഗണങ്ങളിലെ ദത്തങ്ങളിൽനിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും.
ക്ലാസ്സിഫിക്കേഷന്റെ ഉദ്ദേശങ്ങൾ ഇവയാണ് :

1. എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാകുവാൻ പ്രാപ്തമാകുംവിധം ഡേറ്റയെ സാന്ദ്രീകരിക്കുക.

2. താരതമ്യപഠനം എളുപ്പമാക്കുക.

3. ഡേറ്റയുടെ പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകൾ പെട്ടെന്നു മനസ്സിലാക്കുക.

4. അനാവശ്യമായ വിശദീകരണവും വിവരങ്ങളും ഒഴിവാക്കുക.

5. പിന്നാലെ വേണ്ടിവരുന്ന സാംഖ്യിക കൈകാര്യത്തിന് ഡേറ്റയെ ഒരുക്കുക.

6. പെട്ടെന്നു തീരുമാനത്തിലെത്തുക.

ഗ്രൂപ്പുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഗണങ്ങളായി തരം തിരിക്കുന്നത് പല വിധത്തിലാകാം.

തരംതിരിക്കൽ പലവിധം (Types of Classification)
താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന നാലുവിധത്തിൽ ദത്തങ്ങളെ തരംതിരിക്കാവുന്നതാണ്;

1. ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായി, അതായത് സ്ഥല മാനദണ്ഡത്തിൽ

2. കാലക്രമമനുസരിച്ച്, അതായത് സമയാടി സ്ഥാനത്തിൽ

3. ഗുണാത്മകമായി, അതായത് ഏതെങ്കിലും ഗുണം അല്ലെങ്കിൽ സ്വഭാവം എന്നീ അടിസ്ഥാനത്തിൽ

4. പരിമാണാത്മകമായി, അതായത് വലുപ്പം, പരിമാണം എന്നീ നിലയ്ക്ക്

1. ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായിട്ടുള്ള തരംതിരിവ് (Geographical Classification)
ഇവിടെ ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായ വ്യത്യാസത്തിനനുസൃതമായാണ് ദത്തങ്ങളെ തരംതിരിക്കുന്നത്. ഇതിന് സ്പേഷ്യൽ തരംതിരിവ് എന്നു കൂടി പറയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ, സംസ്ഥാനാടിസ്ഥാനത്തിലാണ് കാണിക്കുന്നത്. ഒരു വിതരണക്കാരന്റെ ദക്ഷിണേന്ത്യയിലുള്ള സ്കൂട്ടർ വില്പനയുടെ ദത്തങ്ങൾ പട്ടിക 13.2 ൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

13.2 ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായിട്ടുള്ള തരംതിരിവ്

States സ്കൂട്ടർ വില്പന

Andhrapradesh 1200

Tamilnadu 950

Kerala 830

2. കാലക്രമമനുസരിച്ചുള്ള തരംതിരിവ് (Chronological Classification)
ഒരു പ്രത്യേക കാലയളവിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (അതായത് 2009 മുതൽ 2012 വരെ) ദത്തങ്ങളെ അവതരിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഈ തരംതിരിവ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ 1981, 1991, 2001 എന്നീ കാല സമയ അടിസ്ഥാനത്തിൽ.

13.3 കാലക്രമമനുസരിച്ചുള്ള തരംതിരിവ്

Year ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യ

2009 567

2010 638

2011 736

2012 758

3. ഗുണാത്മകമായ തരംതിരിവ് (Qualitative Classification)
ഒരു പ്രത്യേക സവിശേഷത, സ്വഭാവം എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ (ഉദാ: ലിംഗഭേദം, നിറം, സാക്ഷരത, മതം, മുതലായവ) നടത്തുന്ന തരംതിരിവാണിത്. ഈ സ്വഭാവവിശേഷങ്ങൾ അളന്നു തിട്ടപ്പെടുത്താവുന്നവയല്ല. ഒന്നിന്റെ സാന്നിദ്ധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം എന്ന കാണാൻ കഴിയൂ.
സ്വഭാവവിശേഷത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള തരംതിരിവ് – (എ) ലളിതമായത് (ബി) ബഹുവിധമായത് എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് തരത്തിലുണ്ട്. ലളിതമായ തരംതിരിവിൽ ഒരു സ്വഭാവവിശേഷത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ദത്തങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന് ജനസംഖ്യാ കണക്കിൽ ലിംഗഭേദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പുരുഷനെന്നും സ്ത്രീയെന്നും തരംതിരിക്കുന്നു. ബഹുവിധമായ തരംതിരിവിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ സ്വഭാവവിശേഷങ്ങളാണ് പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നത്.ഉദാഹരണത്തിന്, ഇന്ത്യയിലെ ജനസംഖ്യയെ ലിംഗഭേദത്തിന്റേയും സാക്ഷരതയുടേയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ വർഗ്ഗീകരിക്കാവുന്നതാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് നാല് ഗ്രൂപ്പുകൾ ലഭിക്കും. (1) സാക്ഷരരായ പുരുഷന്മാർ (2) നിരക്ഷരരായ പുരുഷന്മാർ (3) സാക്ഷരരായ സ്ത്രീകൾ (4) നിരക്ഷരരായ സ്ത്രീകൾ.

13.4 ഗുണാത്മകമായ തരംതിരിവ്

States സാക്ഷരത

Kerala 99.5%

Karnataka 95.6%

Bihar 68%

4. പരിമാണാത്മകമായ തരംതിരിവ് (Quantitative Classification)
ഉയരം, തൂക്കം എന്നിങ്ങനെയുള്ള അളന്നു തിട്ടപ്പെടുത്താവുന്ന വിധത്തിലുള്ള സവിശേഷതകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ദത്തങ്ങളെ തരംതിരിക്കുന്ന വിധമാണിത്.

13.5 പരിമാണാത്മകമായ തരംതിരിവ്

Companies Sales

Hundai 800

Tata 638

Maruti 736

തരംതിരിവിന്റെ പ്രക്രിയയെ കുറിച്ച് പ്രതിപാദിക്കുന്നതിനുമുൻപായി നമ്മുടെ പഠനത്തിന് ഉപകരിക്കുന്ന, സാധാരണമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന, ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെണ്ടതുണ്ട്. അവ താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

ചരങ്ങൾ, സവിശേഷതകൾ (Variables, Attributes)
ചരം (Variation) എന്നത് കാലഘട്ടത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥയാകുന്നു. ആളുകൾക്കു വ്യത്യസ്ത രീതിയിലുള്ള ജീവിതശൈലികൾ, ആചാരങ്ങൾ, ശാരീരിക സവിശേഷതകൾ, പ്രായം, വരുമാനം എന്നിവ കാണും. ഉയരം, തൂക്കം തുടങ്ങിയ സവിശേഷതകൾ പാരിമാണിക സവിശേഷതകളായറിയപ്പെടുമ്പോൾ ലിംഗം, മുടിയുടെ നിറം, സാക്ഷരത, മതം തുടങ്ങിയ സവിശേഷതകൾ ഗുണപരമായ സവിശേഷതകളായറിയപ്പെടുന്നു. സംഖ്യാപരമായി അളക്കാൻ കഴിയുന്ന സവിശേഷതകളെ പാരിമാണിക സവിശേഷതകളെന്നു പറയുന്നു. സംഖ്യാപരമായി അളക്കാൻ കഴിയാത്തതും എന്നാൽ ഗുണത്തിന്റെയോ സവിശേഷ ലക്ഷണങ്ങളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ മാത്രം ആവിഷ്ക്കരിക്കാൻ കഴിയുന്നതുമായ സവിശേഷതകളെയാണ് ഗുണപരമായ സവിശേഷതകളെന്നു പറയുന്നത്. യൂണിറ്റിൽ നിന്നും യൂണിറ്റിലേയ്ക്ക് ചരിക്കുന്ന പാരിമാണിക സവിശേഷതയാണ് ഒരു ചരം (Variable or Variate). തൂക്കം, ഉയരം തുടങ്ങിയവ ഇപ്രാകരം ചരങ്ങളാണ്. ഇനി നമുക്കു പാരിമാണികമായി ആവിഷ്ക്കരിക്കാവുന്ന സിവശേഷതകളിലെ ചരങ്ങളെപ്പറ്റി ചിന്തിക്കാം.

സന്തതം അസന്തതവുമായ ചരങ്ങൾ (Continuous and Discrete Variables)
കഴിഞ്ഞ അദ്ധ്യായത്തിൽ ചരങ്ങളെപ്പറ്റി നാം മനസ്സിലാക്കി. എന്നാൽ അത് എങ്ങനെ ചരിക്കുന്നു എന്ന് നാം മനസ്സിലാക്കിയിരുന്നില്ല. യൂണിറ്റിൽ നിന്ന് യൂണിറ്റിലേക്ക് ചരിക്കുന്ന പരിമാണാത്മക സവിശേഷതയാണ് ഒരു ചരം (variable or variate). ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്ലാസ്സിലുള്ള ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ തൂക്കം 45 കി.ഗ്രാമും മറ്റൊരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ തൂക്കം 52 കി.ഗ്രാമുമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക. പരിമാണാത്മക സവിശേഷത (quantitative characteristic), അതായത് ഇവിടെ തൂക്കം, യൂണിറ്റിൽ നിന്ന് യൂണിറ്റിലേക്ക് മാറുന്നു. അതുകൊണ്ട് തൂക്കം ഒരു ചരമാണ്.
വ്യത്യസ്ത ചരങ്ങൾ മാറുന്നത് വ്യത്യസ്തമായിട്ടാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ നിർദ്ദിഷ്ട മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് അവ വ്യത്യസ്തതമായിരിക്കുന്നത്. അവയെ വിശാലമായി രണ്ടു വിഭാഗമായി തരംതിരിക്കാം:

1. സന്തത ചരങ്ങൾ (Continuous variables)

2. അസന്തത ചരങ്ങൾ (Discrete variables)

നിർദ്ദിഷ്ടമായ പ്രത്യേക മേഖലയിൽ സാദ്ധ്യമായ സംഖ്യകളെല്ലാം സ്വീകരിക്കാവുന്ന ചരങ്ങളെ സന്തത ചരങ്ങളെന്നു വിളിക്കുന്നു.
സന്തത ചരങ്ങളിൽ (3, 4, 5, 6, …) തുടങ്ങിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, (\( {{\frac{1}{2}} } \), \( {{\frac{3}{4}} } \),\( {{\frac{2}{3}} } \) ……) തുടങ്ങിയ ഭിന്ന സംഖ്യകൾ കൃത്യമായ ഭിന്നസംഖ്യ (fractions) അല്ലാത്ത ഇറാഷണൽ സംഖ്യകളായ √3 അഥവാ √2 തുടങ്ങിയവയൊക്കെ സ്വീകരിക്കാനാവും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഉയരം എടുക്കുക. അവൻ അവൾ വളരുമ്പോൾ അവന്റെ അവളുടെ ഉയരം കൂടുന്നു. 80 സെ.മീറ്ററിൽ നിന്ന് 140 സെ.മീറ്ററി ലേക്ക് കൂടുമ്പോൾ അത് ഈ രണ്ട് സംഖ്യകൾക്കുമിടയിലുള്ള എല്ലാ മൂല്യങ്ങളെയും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആ സംഖ്യകൾ 85 സെ.മീ., 100 സെ.മീ., 112 സെ.മീ., 145 സെ.മീ. തുടങ്ങി പൂർണ്ണസംഖ്യകളോ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളല്ലാത്ത ഭിന്നസംഖ്യകളായ 91.45 സെ.മീ. 103.35 സെ.മീ., 148.89 സെ.മീ. എന്നീ സംഖ്യകളോ ആകാം. തൂക്കം, സമയം, ദൂരം തുടങ്ങിയവയാണ് സന്തത ചരങ്ങൾക്ക് മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ.
സന്തത ചരങ്ങളിൽനിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, അസന്തത ചരങ്ങൾക്ക് നിർദ്ദിഷ്ട മേഖലയിലെ എല്ലാ സംഖ്യകളേയും സ്വീകരിക്കാൻ സാധിക്കുകയില്ല. ചിലതിനെ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളാനാകും.
ഈ മൂല്യങ്ങൾ വിലകൾ ഒറ്റ തിരിഞ്ഞുള്ളതും തുടർച്ചയില്ലാത്തതുമാണ്. ഇവയിലെ സംഖ്യകൾ ഒരു മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് അടുത്ത മൂല്യത്തിലേക്ക് ചാടുന്നു. അതായത് ഒരു മൂല്യത്തിനും അടുത്ത മൂല്യത്തിനും ഇടയിൽ മൂല്യമില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്ഥാപനത്തിലെ തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണവും, മറ്റു സ്ഥാപനങ്ങളിലെ തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണവും പൂർണ്ണസംഖ്യകളായിരിക്കും. ഇവിടെ സാംഖ്യിക യൂണിറ്റുകൾ അവിഭാജ്യമോ അല്ലെങ്കിൽ വിഭജിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലാത്തതോ ആയിരിക്കും. 0.5 തുടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യ പരിഗണിക്കാനാവില്ല. കാരണം ഒരു തൊഴിലാളിയുടെ പകുതി എന്നത് അസംബന്ധമാണ്. അതുകൊണ്ട് ഇവിടെ 28 നും 29 നും ഇടയ്ക്കുള്ള 28.5 എന്ന സംഖ്യ പരിഗണിക്കാനാവില്ല. അത് ഒന്നുകിൽ 28 ആകണം അല്ലെങ്കിൽ 29 ആകണം. അതായത് ഭിന്നസംഖ്യകൾ അനുവദനീയമല്ല. നിങ്ങളുടെ സ്കൂളിലെ +1 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം അസന്തത ചരങ്ങൾക്ക് ഒരു ദാഹരണമാണ്. എന്നാൽ അസന്തത ചരങ്ങളിൽ ഭിന്നസംഖ്യ ഒരിക്കലും പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നില്ല എന്ന് വിചാരിക്കരുത്. ഉദാഹരണത്തിന്, 1/7, 1/8, 1/32, 1/46… എന്നിങ്ങനെ വിലകൾ x എന്ന ചരം സ്വീകരിക്കുന്നുവെന്നു സങ്കല്പിക്കുക. ഇത് സന്തത ചരമോ അസന്തത ചരമോ? തീർച്ചയായും ഇത് ഒരു അസന്തതചരമാണ്. കാരണം ഇവിടെ x ഭിന്ന മൂല്യങ്ങളിലേക്ക് ചരിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിലും 1/7 നും 1/8 നും അല്ലെങ്കിൽ 1/8 നും 1/32 നും ഇടയിൽ x ന് മൂല്യമില്ല. അല്ലെങ്കിൽ അതിനിടയിലുള്ള വിലകളെ സ്വീകരി ക്കുകയില്ല. മറ്റുവിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ x ന് സന്തത മൂല്യങ്ങൾ ഇല്ല. അതിനാൽ അസന്തത ചരമാണ്.

സാംഖ്യക ശ്രേണികൾ (Statistical Series)
യുക്തിസഹമായ ഏതാനം ക്രമങ്ങളനുസരിച്ച് ശേഖരിച്ചിട്ടുള്ള ഇനങ്ങൾ വിന്യസിക്കപ്പെടുമ്പോൾ അതൊരു ശ്രേണിയായിത്തീരുന്നു. നിർമ്മിതിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സാംഖ്യികശ്രേണികളെ മൂന്നു വിധത്തിൽ തരംതിരിക്കാവുന്നതാണ്

1. സ്വതന്ത്രശ്രേണികൾ (Individual Series)

2. അസന്തത ശ്രേണികൾ (Discrete Series)

3. സന്തത ശ്രേണികൾ (Continuous Series)

സ്വതന്ത്ര ശ്രേണികൾ (Individual Series)
ഈ മാതൃകയിൽ, ബന്ധപ്പെട്ട നിരീക്ഷണങ്ങളെടുത്തു കാട്ടിക്കൊണ്ട് ഇനങ്ങളെ ഒറ്റതിരിച്ച് പട്ടികയാക്കുന്നു. ഒരു സ്വതന്ത്രശ്രേണി ആരോഹണക്രമത്തിലോ അവരോഹണക്രമത്തിലോ ക്രമീകരിക്കാവുന്നതാണ്. അതിന് ലളിത അണി (simple array) എന്നും വിളിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ദിവസം 6 തൊഴിലാളികൾ കരസ്ഥമാക്കിയ വേതനം സ്വതന്ത ശ്രേണിയിൽ ഇങ്ങനെ കാണിക്കാം:

13.6 സ്വതന്ത്ര ശ്രേണി

തൊഴിലാളി ക്രമനമ്പർ വേതനം (ക.)

1 500

2 600

3 550

അസന്തത ശ്രേണികൾ (Discrete Series)
തന്നിട്ടുള്ള ദത്തങ്ങളിൽ ചില ഇനങ്ങൾ പല പ്രാവശ്യം ആവർത്തിക്കുന്നുണ്ടാകും. ഓരോ ഇനങ്ങളും എത്ര തവണ ആവർത്തിക്കുന്നുവെന്നത് ശ്രേണിയായി വിന്യസിക്കുന്നു. എത്ര പ്രാവശ്യം എന്നതാണ് ആവർത്തി (frequency). അസന്തത ശ്രേണിയെ ആവർത്തി അണി (frequency array) എന്നുകൂടി വിളിക്കാറുണ്ട്. അസന്തത ശ്രേണികളിൽ സാംഖ്യികയൂണിറ്റുകൾ ഒന്നുകിൽ അവിഭാജ്യമോ അല്ലെങ്കിൽ വിഭജിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലാത്തതോ ആകും. ഓരോ വർഗ്ഗവും ഇതര വർഗ്ഗത്തിൽനിന്നു വ്യതിരിക്തവും വ്യത്യസ്തവുമായിരിക്കും.

13.7 അസന്തത ശ്രേണി

ഓരോ ദമ്പതിക്കുള്ള കുട്ടികളുടെ എണ്ണം ദമ്പതികളുടെ എണ്ണം

0 21

1 19

2 10

Total 50

സന്തത ശ്രേണി (Continuous Series)
സന്തത ശ്രേണികളിൽ ചരങ്ങളുടെ വിലകൾ ഒരു തുടർച്ചാരീതിയിലാണ് വിന്യസിക്കുന്നത്. അതാതിന്റെ ആവർത്തിക്കു നേരെയായിട്ടായിരിക്കും. സന്തത ശ്രേണികളിൽ സാംഖ്യിക യൂണിറ്റ് ശക്തമായൊരു യൂണിറ്റ് ആകുന്നു. വിഭജനത്തിന് സമർത്ഥവും ഏതു വലുപ്പത്തിന്റെ ഭിന്നിതങ്ങളിലും അളക്കാവുന്നതുമാണ്. അവ വർഗ്ഗാന്തരാളങ്ങളിൽ ആവിഷ്കൃതമാകുന്നു. തുടക്കം മുതൽ ഒടുക്കംവരെ തുടർച്ച പുലർത്തുന്നവയാകും അവ.

13.8 സന്തത ശ്രേണി

ഉയരം (സെ.മീ.) വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം

0 – 10 5

10 – 20 10

20 – 30 17

30 – 40 13

40 – 50 5

Total 50

അണി (The Array)
അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങൾ സംഘടിപ്പിക്കുന്നതിലുള്ള പ്രഥമപടി വലുപ്പക്രമമനുസരിച്ച് അണിയിൽ അവയെ വിന്യസിക്കുകയാണ്. അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളുടെ ഒരു സമൂഹത്തെ വലുപ്പം നോക്കി (ആരോ ഹണാവരോഹണക്രമത്തിൽ) ക്രമപ്രകാരം വിന്യസിക്കുമ്പോൾ അതിനെ അണിയെന്നു വിളിക്കുന്നു. താഴെ കൊടുത്തിട്ടുള്ള ഉദാഹരണം ഇതു വ്യക്ത മാക്കിത്തരും.
20 തൊഴിലാളികളുടെ ഉറുപ്പിക കണക്കിലുള്ള നിത്യ വേതനം സംബന്ധിച്ച് ഒരു ബിസിനസ്സ് യൂണിറ്റിൽ നിന്നും ലഭിച്ചിട്ടുള്ള അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങൾ ഇപ്രകാരമാണെന്നു സങ്കല്പിക്കുക.

20, 35, 31, 33, 30, 27, 36, 21, 39, 23,
34, 41, 47, 32, 46, 49, 42, 43, 52, 50
അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങൾ ആരോഹണാവരോഹണക്രമത്തിൽ അണിയായി വിന്യസിച്ചപ്പോഴത്തെ അവസ്ഥ താഴെ കൊടുക്കുന്നു.

13.9 അണി ആരോഹണക്രമത്തിൽ

Rs Rs

20 36

21 39

23 41

27 42

30 43

31 46

32 47

33 49

34 50
35 52

13.10 അണി അവരോഹണക്രമത്തിൽ

Rs Rs

52 35

50 34

49 33

47 32

46 31

43 30

42 27

41 23

39 21

36 20

പട്ടിക 13.9-ലെ അണിയായി നിർത്തിയ സംഖ്യകളിലേയ്ക്കുള്ള ഒരവലോകനം ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ വേതനം സംബന്ധിച്ചും (20 ക.) ഏറ്റവും കൂടിയ വേതനം സംബന്ധിച്ചും (52 ക.) ഉള്ള വിവരം നമുക്കു തരുന്നു. ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും ഏറ്റവും കൂടിയതുമായ (52 ക.) വേതനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അന്തരം (Range) 32 ക. (52-20) യാണെന്നും നമുക്കറിയാം. 30 ക.ക്കും 40 ക.ക്കും തമ്മിൽ വേതനത്തിന്റെ (Wage) ഒരു സമാഹിതത്വവും (Concentration) നമ്മുടെ ശ്രദ്ധയിൽ പതിയുന്നു.
അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളിലെ ഇനങ്ങളുടെ എണ്ണം ചുരുങ്ങുമ്പോൾ അണി പ്രയോജനപ്രദമാകുന്നു. എന്നാൽ ഇനങ്ങൾ ശതങ്ങളോ സഹസ്രങ്ങളോ ആകുമ്പോൾ അവയെ കൈകാര്യം ചെയ്യുക വളരെ പ്രയാസമാണ്; ഏറെ സമയം എടുക്കുന്നതുമാണ്. അതിനാൽ ദത്തങ്ങളുടെ സംഗ്രഹണം ആവശ്യമായിത്തീരുന്നു. ദത്തങ്ങളുടെ സംഘാടനത്തിൽ അതാണ് രണ്ടാമത്തെ ചുവട്. ഗ്രൂപ്പുകളിലേയ്ക്കോ വർഗ്ഗങ്ങളിലേയ്ക്കോ ഉള്ള ഒരു വർഗ്ഗീകരണ പ്രക്രിയയിലൂടെ ദത്തങ്ങളുടെ സംഗ്രഹണം (Condensation) അല്ലെങ്കിൽ ലഘൂകരണം (Simplification) ഇവിടെ നിർവ്വഹിക്കപ്പെടുന്നു.

ആവൃത്തി അണി (The Frequency Array)
ഒരു അണി നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ചില സംഖ്യകൾ ആവർത്തിച്ചുവരാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട്. ഒരു ശ്രേണിയിൽ ഒരു ഇനത്തിലെ സംഖ്യ എത്ര തവണ ആവർത്തിക്കുന്നുവോ അത്രയും തവണകളുടെ എണ്ണത്തെ ആവൃത്തി എന്നുപറയുന്നു. ഒരു ശ്രേണിയിൽ ഒരു സംഖ്യ ആവർത്തിക്കപ്പെടുന്ന തവണകൾ നാം അടയാളപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ നമുക്കു ആവൃത്തി അണി ലഭിക്കുന്നു. അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളിലെ ഇനങ്ങളുടെ സംഖ്യ ചുരുങ്ങുമ്പോൾ മാത്രമെ ആവൃത്തി അണി പ്രയോജനപ്രദമാകുന്നുള്ളൂ. ആവൃത്തി അണി നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ആവൃത്തിയെ കാട്ടുന്നു. ചില സംഖ്യകൾക്കു ചുറ്റുമുള്ള ഇനങ്ങളുടെ കൂട്ടായ സാന്നിധ്യത്തെ (Concentration) സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഉദാഹരണം
ഒരു ഫാക്ടറിയിലെ 20 തൊഴിലാളികളുടെ ദിവസവേതനം സംബന്ധിച്ച് (ഉറുപ്പികക്കണക്കിൽ)താഴെ കൊടുത്തിട്ടുള്ള ദത്തങ്ങൾ ആവൃത്തി അണിയിൽ വിന്യസിക്കുക.

50, 54, 50, 55, 56, 54, 50, 57, 50, 55,
56, 54, 54, 50, 54, 56, 55, 54, 50, 56
ഉത്തരം:

13.11 ആവൃത്തി അണി

ദിവസ വേതനം ടാലി മാർക്ക് തൊഴിലാളികളുടെ എണ്ണം

50 //// / 6

54 //// / 6

55 /// 3

56 //// 4

57 / 1

Total 20

ആവൃത്തി വിതരണം (Frequency Distribution)
ഒരു ആവൃത്തിവിതരണമെന്നത് നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ പ്രാധാന്യമനുസരിച്ച് വർഗ്ഗീകരിക്കപ്പെട്ട ദത്തങ്ങളുടെ ക്രമപ്രകാരമുള്ള വിന്യസനമാണ്. ഓരോ വർഗ്ഗത്തിലും നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഉചിതമായ വലുപ്പത്തിലുള്ള വർഗ്ഗങ്ങളിൽ ദത്തങ്ങൾ തരംതിരിക്കുമ്പോൾ നമുക്കു ആവൃത്തി വിതരണം ലഭിക്കുന്നു.

13.12

തൂക്കം (കിലോഗ്രാമിൽ) വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം

40 – 45 40

45 – 50 110

50 – 55 35

55 – 60 240

60 – 65 355

65 – 70 20

Total 800

ഇവിടെ രണ്ടു ഘടകങ്ങളുണ്ട്. (1) ചരങ്ങൾ, അതായത് തൂക്കം, (2) ആവൃത്തി, അതായത് ഓരോ വർഗ്ഗത്തിലുമുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം.

ആവൃത്തി വിതരണത്തിന്റെ രൂപീകരണം (Formation of Frequency Distribution)
സന്തത ആവൃത്തി വിതരണം രൂപീകരിക്കു മ്പോൾ താഴെ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുള്ള സാങ്കേതിക പദങ്ങൾ പ്രധാനമാണ്.

1. വർഗങ്ങൾ തെരഞ്ഞെടുക്കൽ (Selection of class):
ആവൃത്തി വിതരണത്തിന്റെ ഗുണമേന്മ ഉറപ്പു വരുത്തുവാനായി വർഗങ്ങളുടെ എണ്ണം (Number of classes) ബുദ്ധിപൂർവ്വം തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. വർഗങ്ങളുടെ എണ്ണം എത്രയായിരിക്കണമെന്നതിന് പ്രത്യേകിച്ച് നിയമമൊന്നുമില്ല. സാധാരണഗതിയിൽ ആവൃത്തി വിതരണത്തിൽ 20 മുതൽ 25 വരെ വർഗങ്ങളാകാം. അതിനെക്കാൾ കൂടാൻ പാടില്ല. വർഗങ്ങളുടെ കുറഞ്ഞ എണ്ണം 6 മുതൽ 8 വരെയാകാം. വർഗങ്ങളുടെ എണ്ണം പ്രധാനമായും നിശ്ചയിക്കുന്നത് പരമ്പരയിലെ ഇനങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 100 ഘടകങ്ങളും അവയിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിന്റെ മൂല്യം 3 എന്നും ഏറ്റവും കൂടിയതിന്റെ മൂല്യം 96 എന്നും സങ്കല്പിക്കുക. അത്തരം ഒരു സാഹചര്യത്തിൽ 0 – 10, 10 – 20, … 90 – 100 എന്നിങ്ങനെ 10 വർഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

2. വർഗ്ഗസീമകൾ (Class limits):
വർഗ്ഗസീമകൾ ഒരു വർഗ്ഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്താവുന്ന ഏറ്റവും താണതും ഏറ്റവും ഉയർന്നതുമായ സംഖ്യകളാണ് (നീചസീമ, ഉച്ചസീമ). ഉദാഹരണത്തിന്, 20 – 30 ന്റെ വർഗ്ഗം നാം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ ഏറ്റവും താണ സംഖ്യയായ 20 നീചസീമയും ഏറ്റവും ഉയർന്ന സംഖ്യയായ 30 ഉച്ചസീമയുമാണ്.

3. വർഗ്ഗാന്തരാളങ്ങൾ (Class intervals);
ഉച്ച സീമയും നീചസീമയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വർഗ്ഗാന്തരാളമെന്നറിയപ്പെടുന്നു. 100 – 200 സംഖ്യയുള്ള ഒരു വർഗ്ഗത്തിലെ വർഗ്ഗാന്തരാളം 100 ആകുന്നു (അതായത് 200 – 100).

4 വർഗ്ഗമൂല്യം അഥവാ മധ്യവില (Class mid- point or Class mark);
വർഗ്ഗാന്തരാളത്തിന്റെ നീചവും ഉച്ചവുമായ സീമകൾക്കിടയിൽ പാതിവഴിയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന സംഖ്യയാണ് വർഗ്ഗമൂല്യം അഥവാ മധ്യവില. വർഗ്ഗമൂല്യം = \( {{\frac{1}{2}} } \) (നീചസീമ + ഉച്ചസീമ).

5. വർഗ്ഗാന്തരാളത്തിന്റെ വലുപ്പം (Magnitude of class intervals):
നീചസീമയും ഉച്ചസീമയും തമ്മിലുള്ള ബൗണ്ടറികളുടെ വ്യത്യാസത്തെ വർഗ്ഗാന്തരാളത്തിന്റെ വലുപ്പമെന്നു പറയുന്നു.

6.വർഗ്ഗ ആവൃത്തി (Class frequency):
ഒരു പ്രത്യേക വർഗ്ഗത്തിനു കീഴിൽ വരുന്ന നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആ വർഗ്ഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി അല്ലെങ്കിൽ വർഗ്ഗ ആവൃത്തി എന്നു പറയുന്നു.

ഓരോ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും ആവൃത്തി എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം (How to find frequency of each class)
ഒരു പ്രത്യേക വർഗ്ഗത്തിന് തത്തുല്യമായ നിരീക്ഷണത്തിന്റെ എണ്ണത്തെ ആ വർഗ്ഗത്തിന്റെ ആവൃത്തി അല്ലെങ്കിൽ വർഗ്ഗാവൃത്തി എന്നു പറയുന്നു. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, അസംസ്കൃത ദത്തത്തിൽ നിരീ ക്ഷണം എത്ര തവണ ആവർത്തിക്കുന്നു (സംഭവിക്കുന്നു എന്നതിനെയാണ് നിരീക്ഷണത്തിന്റെ ആവൃത്തി എന്നു പറയുന്നത്. ഉദാഹരണം 1 ൽ 54 ന്റെ മൂല്യം 6 തവണയും, 56 ന്റെ മൂല്യം 4 തവണയും ആവർത്തിക്കുന്നു. വർഗ ആവൃത്തി എണ്ണുന്നത് ടാലി അടയാളങ്ങൾ (I) നിർദ്ദിഷ്ട വർഗത്തിനെതിരെ ഉണ്ടാക്കിക്കൊണ്ടാണ്.
ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിക്കുള്ള ഒരു വർഗത്തിന് എതിരെ ഒരു ടാലി (I) രേഖപ്പെടുത്തുക. അങ്ങനെ ഓരോ വിദ്യാർത്ഥിയുടെയും മാർക്ക് അവരുടെ വർഗത്തിനു നേരെ വരത്തക്കവിധത്തിൽ ടാലി (I) രേഖപ്പെടുത്തുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്കു കിട്ടിയ മാർക്ക് 55 ആണെന്നു കരുതുക. അപ്പോൾ 50 – 60 എന്ന വർഗത്തിനെതിരെ ടാലി (I) രേഖപ്പെടുത്തുക. മാർക്ക് 72 ആണെങ്കിൽ 70 – 80 വർഗത്തിനെതിരെ ടാലി (I) രേഖപ്പെടുത്തുക. മറ്റൊരു വിദ്യാർത്ഥിക്കു കിട്ടിയ മാർക്ക് 73 ആണെങ്കിൽ 70 – 80 എന്ന വർഗത്തിനെതിരെ ഒരു ടാലി (I) രേഖപ്പെടുത്തണം. അപ്പോൾ 70-80 വർഗത്തിനു എതിരെ യുള്ള ടാലി അടയാളം (II) എന്നായിരിക്കും.
ടാലിയുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാകാൻ നാലു ടാലികൾ IIII എന്നിങ്ങനെയും അഞ്ചാമത്തെ ടാലി അതിനു കുറുകെയും രേഖപ്പെടുത്തണം. അപ്പോളത് //// (5) എന്നിങ്ങനെയായിരിക്കും. ഈ ടാലി അടയാളത്തെ അഞ്ചിന്റെ ഒരു വർഗം എന്ന് എണ്ണുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു വർഗത്തിൽ 13 ടാലികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അത് ഇങ്ങനെയായായിരിക്കും: (////, ////, III).
ടാലി അടയാളങ്ങൾ രേഖപ്പെടുത്തിയ ഒരു ഉദാഹരണം താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

താഴെ കൊടുത്ത ദത്തങ്ങൾക് ആവൃത്തി വിതരണം തയ്യാറാക്കുക.
70, 54, 35, 45, 45, 73, 56, 46, 3, 42, 43, 43, 43, 36, 47, 23, 57, 45, 25, 43, 55, 21, 65, 78, 39, 28, 42, 21, 27, 70, 23, 85, 41, 71, 24, 43, 17, 26, 56, 39, 87, 43, 8, 38, 12, 71, 68, 28, 47, 23, 67, 60, 34, 59, 2, 77, 91, 56, 28, 43, 40, 21, 80, 56, 55, 51, 34, 58, 28, 28, 54, 34, 68, 30, 45, 24, 32, 34, 21, 54, 7, 16, 49, 32, 26, 21, 5, 26, 29, 37, 34, 21, 29, 71, 35, 8, 34, 20, 21, 80.
ടാലി അടയാളത്തോടെയുള്ള ആവൃത്തി വിതരണത്തെ കാണിക്കുന്ന പട്ടിക താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു .

13.13 ടാലി അടയാളത്തോടെയുള്ള ആവൃത്തി വിതരണം

വർഗം ടാലി അടയാളം അടയാളം (ആവൃത്തി)

0 – 10 //// / 6

10 – 20 /// 3

20 – 30 //// //// //// //// //// 25

30 – 40 //// //// //// / 16

40 – 50 //// //// //// //// 19

50 – 60 //// //// /// 13

60 – 70 //// 5

70 – 80 //// /// 8

80 – 90 //// 4

90 – 100 / 1

Total 100

13. 14 എക്സ്ക്ലൂസീവ് രീതി
വയസ്സ്	ആളുകളുടെ എണ്ണം
0 – 10	5
10 – 20	8
20 – 30	5

13. 15 ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി
വയസ്സ്	ആളുകളുടെ എണ്ണം
0 – 9	5
10 – 19	8
20 – 29	5

13. 16 ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി
വയസ്സ്	ആളുകളുടെ എണ്ണം
.5 – 9.5	5
9.5 – 19.5	8
19.5 – 29.5	5

13.17 കീഴോട്ട്
മാർക്കുകൾ (Class)	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം
10 ൽ താഴെ	5
20 ൽ താഴെ	12
30 ൽ താഴെ	25
40 ൽ താഴെ	52
50 ൽ താഴെ	67

13.18 മുകളിലോട്ട്
മാർക്കുകൾ (Class)	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം
0 നു മുകളിൽ	67
10 നു മുകളിൽ	52
20 നു മുകളിൽ	25
30 നു മുകളിൽ	12
40 നു മുകളിൽ	5

13.19 വിവൃതാന്ത്യവർഗ്ഗങ്ങളോടുകൂടിയ ശ്രേണി
മാർക്കുകൾ (Class)	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം (Frequency)
10 ൽ താഴെ	4
10 – 20	6
20 – 30	6
30 – 40	9
40 ഉം ഉപരിയും	5

13.20 Frequency distribution of Marks in Economics
മാർക്കുകൾ (Class)	മദ്ധ്യവില	വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം (Frequency)
0 – 10	5	2
10 – 20	15	8
20 – 30	25	5
30 – 40	35	6
40 – 50 [ 41, 49, 47, 44, 45, 48, 43, 42, 40, 44, 46, 45, 49, 40 ]	45	14
50 – 60 [ 51, 55, 54, 53, 52, 58, 55, 53, 51, 50, 57, 56, 59, 53, 50, 55,58 ]	55	17
60 – 70 [ 61, 63, 69, 65, 66, 60, 64, 67, 68, 69, 66, 65, 68, 69, 64, 67, 63, 62, 60, 68 ]	65	20
70 – 80	75	5
80 – 90	85	6
90 – 100	95	7

13.21 Frequency distribution of unequal classes
Marks (Class)	Mid Value	Number of Students (Frequency)
0 – 10	5	2
10 – 20	15	8
20 – 30	25	5
30 – 40	35	6
40 – 45	42.5	11
45 – 50	47.5	13
50 – 55	52.5	8
55 – 60	57.5	10
60 – 65	62.5	9
65 – 70	67.5	11
70 – 80	75	7
80 – 90	85	6
90 – 100	95	4

13.22 ഏകചര ആവൃത്തി വിതരണം
Marks.	Number of Students.
40 – 50	5
50 – 60	8
60 – 70	15
70 – 80	20
80 – 90	7
90 – 100	2

13.23 ദ്വിചര/ആവൃത്തി വിതരണം
Sales.	100 – 200	200 – 300	300 – 400	400 – 500
Cost.
40 – 50	5	3	2	1
50 – 60	8	4	3	1
60 – 70	8	3	1	1
70 – 80	6	1	2	1
80 – 90	4	1	1	2

1. എക്സ്ക്ലൂസീവ് രീതി
ഒരു വർഗ്ഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമ അടുത്ത വർഗ്ഗത്തിന്റെ നീചസിമ ആകത്തക്കവിധത്തിൽ വർഗ്ഗാന്തരാളങ്ങൾ ക്രമപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ അതു വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ എക്സ്ക്ലൂസീവ് രീതിയായറിയപ്പെടുന്നു.

13. 14 എക്സ്ക്ലൂസീവ് രീതി

വയസ്സ് ആളുകളുടെ എണ്ണം

0 – 10 5

10 – 20 8

20 – 30 5

2. ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി
വർഗ്ഗീകരണത്തിന്റെ ഇൻക്ലൂസീവ് രീതിയിൽ കീഴിൽ ഒരു വർഗ്ഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമ ആ വർഗ്ഗത്തിനകത്തു തന്നെ ഉൾക്കൊള്ളിച്ചിരിക്കുന്നു.

13. 15 ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി

വയസ്സ് ആളുകളുടെ എണ്ണം

0 – 9 5

10 – 19 8

20 – 29 5

ഇൻസീവ് വർഗത്തെ എക്സ്ക്ലൂസിവ് വർഗമാക്കി മാറ്റൽ (Conversion of inclusive classes into exclusive classes)
ചിലപ്പോൾ ഇൻക്ലൂസീവ് ആവൃത്തി പട്ടികയെ എക്സ്ക്ലൂസീവ് ആവൃത്തി പട്ടികയാക്കി മാറ്റേണ്ട സന്ദർഭങ്ങൾ വരാം. വർഗീകരണത്തിന്റെ ഇൻക്ലൂസീവ് രീതിയിൽ ഒരു വർഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമ ആ വർഗത്തിനകത്തു തന്നെ ഉൾക്കൊള്ളിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിക്കാണും. അവിടെ ഒരു വർഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമയും (upper limit) തുടർന്നു വരുന്ന വർഗത്തിന്റെ നീചസീമയും (lower limit) തമ്മിൽ ഒരു വിടവ് (gap) സംഭവിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് ഇൻക്ലൂസീവ് ആവൃത്തി പട്ടികയിൽപ്പെട്ട 0 – 9, 10 – 19 എന്നീ രണ്ടു വർഗങ്ങളെ പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ 0 – 9 എന്ന വർഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമയും 10 – 19 എന്ന വർഗത്തിന്റെ നീചസീമയും തമ്മിൽ 1 ന്റെ വ്യത്യാസമുണ്ട്. ഈ വർഗ്ഗങ്ങളെ എക്സ്ക്ലൂസീവ് രീതിയിലേക്കുമാറ്റാൻ വ്യത്യാസത്തിന്റെ പകുതി \( {{\frac{1}{2}} } \) അതായത്, \( \Biggl[{{{\frac{10 – 9}{2}} ={{\frac{1}{2}} }}}\Biggl] \) 0 – 9 വർഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമയോട് കൂട്ടുകയും അതേ സംഖ്യ \( \Biggl[{\frac{1}{2}}\Biggl] \) 10 – 19 വർഗത്തിന്റെ നീചസീമയിൽ നിന്നു കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുക. ടേബിൾ 13.15 നെ എസ്‌ക്ലസിവ് ആക്കിമാറ്റിയിരിക്കുന്നതു ശ്രദ്ദിക്കുക

13. 16 ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി

വയസ്സ് ആളുകളുടെ എണ്ണം

.5 – 9.5 5

9.5 – 19.5 8

19.5 – 29.5 5

സഞ്ചിത ശ്രേണികൾ (Cumulative Series)
ഒരു സഞ്ചിതശ്രേണിയിൽ ആവൃത്തികൾ വർദ്ധനവിന്റെ ക്രമത്തിൽ (Progressively) കൂട്ടിഗണിച്ചു കൊണ്ട് (Totalled) മൊത്തത്തെ (Aggregate) കാണിക്കുന്നു. സഞ്ചിതാവസ്ഥ മുകളിലോട്ടോ കീഴോട്ടോ ആകാം.
ഉദാഹരണം

13.17 കീഴോട്ട്

മാർക്കുകൾ (Class) വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം

10 ൽ താഴെ 5

20 ൽ താഴെ 12

30 ൽ താഴെ 25

40 ൽ താഴെ 52

50 ൽ താഴെ 67

13.18 മുകളിലോട്ട്

മാർക്കുകൾ (Class) വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം

0 നു മുകളിൽ 67

10 നു മുകളിൽ 52

20 നു മുകളിൽ 25

30 നു മുകളിൽ 12

40 നു മുകളിൽ 5

വിവൃതാന്ത്യവർഗ്ഗങ്ങളോടുകൂടിയ ശ്രേണികൾ (Series with open end classes)
ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ആദ്യവർഗ്ഗത്തിന്റെ നീച സീമയും അന്ത്യവർഗ്ഗത്തിന്റെ ഉച്ചസീമയും നൽകപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടാവില്ല. ഇത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ താഴെ സൂചിപ്പിച്ച വിധത്തിലുള്ള ആവൃത്തി വിതരണം നമുക്കു ലഭിക്കുന്നു.

13.19 വിവൃതാന്ത്യവർഗ്ഗങ്ങളോടുകൂടിയ ശ്രേണി

മാർക്കുകൾ (Class) വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം (Frequency)

10 ൽ താഴെ 4

10 – 20 6

20 – 30 6

30 – 40 9

40 ഉം ഉപരിയും 5

വിവരങ്ങളുടെ നഷ്ടം (Loss of information)
ദത്തങ്ങളെ ആവൃത്തി വിതരണമായി വർഗീകരിക്കുമ്പോൾ അതിൽ സഹജമായ ചില പോരായ്മകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളെ സംക്ഷിപ്തമാക്കുമ്പോൾ അതിൽ അസംസ്കൃത ദത്തങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ വിവരങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളിക്കാൻ സാധിക്കാതെ വരുന്നു. അതായത് ദത്തങ്ങളെ വർഗീകരിക്കപ്പെട്ട ദത്തങ്ങളായി സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ വിവര നഷ്ടം സംഭവിക്കുന്നുണ്ട്. ദത്തങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുകളാക്കിക്കഴിഞ്ഞാൽ തുടർന്നുള്ള സംഖ്യിക വിശകലനത്തിൽ വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണത്തിന് പ്രസക്തിയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന് 35, 35, 30, 32, 35, 38 എന്നീ 6 നിരീക്ഷണങ്ങളുള്ള ഒരു 30 – 40 വർഗം സങ്കല്പിക്കുക. തുടർന്നുള്ള വിശകലനത്തിനുവേണ്ടി ആവൃത്തിപട്ടിക തയ്യാറാക്കുമ്പോൾ, ജനങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾക്ക് യാതൊരു പ്രാധാന്യവും നൽകാറില്ല. നമ്മൾ പരിഗണിക്കുക ജനങ്ങളുടെ മൊത്തം എണ്ണം (6) മാത്രമാണ്. ഒരു ഗണത്തിലെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും വർഗാന്തരാളങ്ങളുടെ (class intervals) മദ്ധ്യവില (middle values) യോട് തുല്യമായിരിക്കും എന്നാണ് കരുതുന്നത്. ഈ മദ്ധ്യവില (mid value) യാണ് കണക്കു കൂട്ടലുകൾക്ക് പരിഗണിക്കുന്നത്. ഓരോ മൂല്യത്തെയും ഒറ്റയ്ക്ക് പരിഗണിക്കുന്നില്ല. ഇത് എല്ലാ വർഗങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്. നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ എണ്ണത്തിനു പകരം ഓരോ വർഗത്തിലെയും മദ്ധ്യവിലയാണ് സാംഖ്യിക രീതികളിൽ പരിഗണിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ ഒരു പരിധി വരെ വിവര നഷ്ടം സംഭവിക്കുന്നുണ്ട്.

തുല്യമല്ലാത്ത വർഗ്ഗങ്ങളോടുകൂടിയ ആവൃത്തി വിതരണം (Frequency distribution with unequal classes)
തുല്യ വർഗാന്തരാളങ്ങളുടെ ആവൃത്തി വിതരണം നമുക്ക് പരിചിതമാണ്. എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ തുല്യമല്ലാത്ത വർഗാന്തരാളങ്ങളോടെ ആവൃത്തി വിതരണമായിരിക്കും കൂടുതൽ ഉചിതം. താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ആവൃത്തി വിതരണം നിരീ ക്ഷിക്കുക.

13.20 Frequency distribution of Marks in Economics

മാർക്കുകൾ (Class) മദ്ധ്യവില വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം (Frequency)

0 – 10 5 2

10 – 20 15 8

20 – 30 25 5

30 – 40 35 6

40 – 50 [ 41, 49, 47, 44, 45, 48, 43, 42, 40, 44, 46, 45, 49, 40 ] 45 14

50 – 60 [ 51, 55, 54, 53, 52, 58, 55, 53, 51, 50, 57, 56, 59, 53, 50, 55,58 ] 55 17

60 – 70 [ 61, 63, 69, 65, 66, 60, 64, 67, 68, 69, 66, 65, 68, 69, 64, 67, 63, 62, 60, 68 ] 65 20

70 – 80 75 5

80 – 90 85 6

90 – 100 95 7

മുകളിൽ കൊടുത്ത ആവൃത്തി വിതരണത്തിൽ 40 – 50, 50 – 60, 60 – 70 എന്നീ വർഗ്ഗങ്ങളിലാണ് നിരീക്ഷണങ്ങളിലെ ഏറിയ പങ്കും (ആവൃത്തികൾ) കേന്ദ്രീകരി ച്ചിരിക്കുന്നതെന്നു കാണാം. ഈ വർഗ്ഗങ്ങളോട് ഒത്തുപോകുന്ന ആവൃത്തികൾ യഥാക്രമം 14, 17, 20 എന്നിവയാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഇനങ്ങളിൽ ബഹുഭൂരിഭാഗവും (51) ഈ മൂന്നു വർഗങ്ങളിലായി കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്. 40-70 എന്ന മദ്ധ്യശ്രേണിയിലാണ് 56.67 ശതമാനവും കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. മറ്റു ഏഴു വർഗങ്ങളിലും കൂടി ദത്തങ്ങളുടെ 43.33 ശതമാനം മാത്രമേയുള്ളു. ഈ ഏഴു വർഗ്ഗങ്ങളിൽ സമഷ്ടി നാമമാത്രമാണ് (sparsely populated). അതിനാൽ ഈ ആവൃത്തി വിതരണത്തിലെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ രൂപീകരണം തീർത്തും വിവേകപരമല്ലാത്തതായി തോന്നാം. അതുകൊണ്ട് ഇത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ ചെറിയ വർഗങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുകയായിരിക്കും കൂടുതൽ ഉചിതം. തുല്യമല്ലാത്ത വർഗന്തരാളങ്ങളായിരിക്കും മുകളിൽ പറഞ്ഞ ആവൃത്തി വിതരണത്തിന് കൂടുതൽ ഉചിതം.
നമ്മൾ ചെയ്യാൻ പോകുന്നത് ഏറ്റവും കൂടിയ കേന്ദ്രീകരണമുള്ള (40-50, 50-60, 60-70) വയെ രണ്ടു വർഗ്ഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണ്. വർഗം 40 – 50ന 40 – 45, 45 – 50 ആയും, വർഗം 50 – 60നെ 50 – 55, 55 – 60 ആയും, വർഗം 60 – 70നെ 60 – 65, 65 – 70 ആയും വിഭജിക്കുന്നു. മറ്റു വർഗങ്ങളെ നാം മുമ്പ് ചെയ്തതുപോലെ നിലനിർത്തുന്നു (അതായത് 10ന്റെ വർഗാന്തരാളങ്ങളായി).
വർഗാന്തരാളങ്ങളോടുകൂടിയ വർഗീകരണം താഴെ പട്ടികയിൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. പുതിയ വർഗാന്തരാളസംഖ്യകൾ പഴയതിനേക്കാൾ ദത്തങ്ങളെ കൂടുതൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നവയാണ്.

13.21 Frequency distribution of unequal classes

Marks (Class) Mid Value Number of Students (Frequency)

0 – 10 5 2

10 – 20 15 8

20 – 30 25 5

30 – 40 35 6

40 – 45 42.5 11

45 – 50 47.5 13

50 – 55 52.5 8

55 – 60 57.5 10

60 – 65 62.5 9

65 – 70 67.5 11

70 – 80 75 7

80 – 90 85 6

90 – 100 95 4

ദ്വിചര/ആവൃത്തി വിതരണം (Bivariate Frequency Distribution)
ഏകചര ആവൃത്തി വിതരണത്തെ Univariate – Frequency Distribution എന്നു പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് (ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി ) തന്നിരിക്കുന്ന ദത്തങ്ങൾ “ജനങ്ങളുടെ വയസ്സ് ” എന്ന ഏകചരത്തിന്റെ (univariate) വിതരണം കാണിക്കുന്നു.

13.22 ഏകചര ആവൃത്തി വിതരണം

Marks. Number of Students.

40 – 50 5

50 – 60 8

60 – 70 15

70 – 80 20

80 – 90 7

90 – 100 2

ദ്വിചര ആവൃത്തി വിതരണമെന്നത് രണ്ട് ചരങ്ങളുടെ ആവൃത്തി വിതരണമാണ്.
താഴെ പട്ടികയിൽ രണ്ടു ചരങ്ങളുടെ ആവൃത്തി വിതരണം രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് ചരങ്ങൾ വില്പനയും പരസ്യച്ചെലവുമാണ്. വില്പനയുടെ ചരങ്ങളുടെ മൂല്യം കോളത്തിലും പരസ്യ ച്ചെലവിന്റെ ചരങ്ങളുടെ മൂല്യം പംക്തികളിലും (Row) കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

13.23 ദ്വിചര/ആവൃത്തി വിതരണം

Sales. 100 – 200 200 – 300 300 – 400 400 – 500

Cost.

40 – 50 5 3 2 1

50 – 60 8 4 3 1

60 – 70 8 3 1 1

70 – 80 6 1 2 1

80 – 90 4 1 1 2

മുകളിൽ കൊടുത്ത പട്ടികയിൽനിന്ന് വില്പന 120 ലക്ഷത്തിനും 130 ലക്ഷത്തിനും ഇടയിലും പരസ്യച്ചെലവ് 70 ആയിരത്തിനും 75 ആയിരത്തിനും ഇടയിലുമായ 3 സ്ഥാപനങ്ങളുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും.

സമാപനം (Conclusion)
പ്രാഥമിക സ്രോതസ്സുകളിൽ നിന്നും ദ്വിതീയ സാതസ്സുകളിൽ നിന്നും ശേഖരിച്ച ദത്തങ്ങൾ അസംസ്കൃതം അല്ലെങ്കിൽ തരംതിരിക്കാത്ത ദത്തങ്ങളാണെന്ന് നാം മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ട്. തുടർന്നു ശേഖരിച്ച ദത്തങ്ങളെ കൂടുതൽ സാംഖ്യിക വിശകലനത്തിനായി തരംതിരിക്കുന്നു. തരംതിരിക്കുകവഴി ദത്തങ്ങൾക്ക് ക്രമമുണ്ടാക്കുന്നു. ഈ അദ്ധ്യായത്തിൽ നാം പഠിച്ചത് വിവിധ തരത്തിലുള്ള സാംഖ്യിക ശ്രേണികളെക്കുറിച്ചും ആവൃത്തി വിതരണത്തെക്കുറിച്ചുമാണ് .

അദ്ധ്യായം 13

ദത്തങ്ങളുടെ / ഡാറ്റയുടെ വ്യവസ്ഥപ്പെടുത്തൽ

അസംസ്കൃത ദത്തം (Raw Data)

ദത്തങ്ങളുടെ തരംതിരിവ് (Classification of Data )

തരംതിരിക്കൽ പലവിധം (Types of Classification)

1. ഭൂമിശാസ്ത്രപരമായിട്ടുള്ള തരംതിരിവ് (Geographical Classification)

2. കാലക്രമമനുസരിച്ചുള്ള തരംതിരിവ് (Chronological Classification)

3. ഗുണാത്മകമായ തരംതിരിവ് (Qualitative Classification)

4. പരിമാണാത്മകമായ തരംതിരിവ് (Quantitative Classification)

ചരങ്ങൾ, സവിശേഷതകൾ (Variables, Attributes)

സന്തതം അസന്തതവുമായ ചരങ്ങൾ (Continuous and Discrete Variables)

സാംഖ്യക ശ്രേണികൾ (Statistical Series)

സ്വതന്ത്ര ശ്രേണികൾ (Individual Series)

അസന്തത ശ്രേണികൾ (Discrete Series)

സന്തത ശ്രേണി (Continuous Series)

അണി (The Array)

ആവൃത്തി അണി (The Frequency Array)

ആവൃത്തി വിതരണം (Frequency Distribution)

ആവൃത്തി വിതരണത്തിന്റെ രൂപീകരണം (Formation of Frequency Distribution)

1. വർഗങ്ങൾ തെരഞ്ഞെടുക്കൽ (Selection of class):

2. വർഗ്ഗസീമകൾ (Class limits):

3. വർഗ്ഗാന്തരാളങ്ങൾ (Class intervals);

4 വർഗ്ഗമൂല്യം അഥവാ മധ്യവില (Class mid- point or Class mark);

5. വർഗ്ഗാന്തരാളത്തിന്റെ വലുപ്പം (Magnitude of class intervals):

6.വർഗ്ഗ ആവൃത്തി (Class frequency):

ഓരോ വർഗ്ഗത്തിന്റെയും ആവൃത്തി എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം (How to find frequency of each class)

1. എക്സ്ക്ലൂസീവ് രീതി

2. ഇൻക്ലൂസീവ് രീതി

ഇൻസീവ് വർഗത്തെ എക്സ്ക്ലൂസിവ് വർഗമാക്കി മാറ്റൽ (Conversion of inclusive classes into exclusive classes)

സഞ്ചിത ശ്രേണികൾ (Cumulative Series)

വിവൃതാന്ത്യവർഗ്ഗങ്ങളോടുകൂടിയ ശ്രേണികൾ (Series with open end classes)

വിവരങ്ങളുടെ നഷ്ടം (Loss of information)

തുല്യമല്ലാത്ത വർഗ്ഗങ്ങളോടുകൂടിയ ആവൃത്തി വിതരണം (Frequency distribution with unequal classes)

ദ്വിചര/ആവൃത്തി വിതരണം (Bivariate Frequency Distribution)

സമാപനം (Conclusion)

Leave a Reply Cancel reply